Jerarquía de las operaciones

Conocer acerca de la jerarquía de las operaciones te permite realizar operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división (e incluso de potencias y raíces) con la certeza de empezar por donde debes hacerlo. Esto te ayudará a obtener el resultado correcto y a resolver problemas de matemática con mayor facilidad.

En este artículo aprenderás todo lo que necesitas saber sobre la jerarquía de las operaciones.

Qué es la jerarquía de operaciones

Por ejemplo, observa la siguiente expresión:

$6 \mathbf{+} 3 \mathbf{+} 4\mathbf{ }\mathbf{\times } 9 \mathbf{–} 12 \mathbf{÷} 3$

Como ves, en esta expresión están combinadas las operaciones básicas de la aritmética, que son la adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división.

Si no sabes por dónde empezar puedes obtener un resultado completamente distinto al esperado.

Presta atención al siguiente ejemplo de cómo resolver una expresión con la jerarquía de operaciones y sin la jerarquía de operaciones:

Como puedes darte cuenta, es necesario usar la jerarquía de las operaciones para obtener el resultado correcto de las operaciones. Ahora veamos en qué consisten estas reglas de la jerarquía de las operaciones para que puedas seguirlas.

Cuáles son las reglas de la jerarquía de operaciones básicas

Al resolver operaciones matemáticas es muy importante que hagas las operaciones en el orden correcto, de acuerdo a la jerarquía que tienen. Si no lo haces es posible que termines con una respuesta errónea.

La idea básica de la jerarquía de las operaciones es que hagas algunas operaciones, como la multiplicación, antes que otras, como la suma.

Estas son las reglas de la jerarquía de operaciones:

1. Resuelve primero las multiplicaciones y las divisiones.
2. Luego resuelves las adiciones (sumas) o las sustracciones (restas).
3. Siempre debes resolverlo de izquierda a derecha.

Podemos hablar entonces de la regla MDAS, como una forma de recordar la jerarquía de operaciones.

Por ejemplo, cuando tenemos una operación planteada como la siguiente:

5 + 3 x 9 = ?

• Si ignoramos la regla MDAS, lo resolvemos así:

5 + 3 x 9 = ?

8 x 9 = 72

• Ahora resolveremos la operación siguiendo la regla MDAS

• • El resultado correcto de esta operación es 32.

Mira este otro ejemplo de jerarquización de operaciones.

• Recuerda que vamos de izquierda a derecha, empezando con Multiplicación y División, para luego realizar Adiciones y Sustracciones.
• Esta vez resolveremos lo siguiente:

16 + 3 – 45 ÷ 5 + 27 x 2

Cómo se aplica la ley de jerarquía de las operaciones básicas paso a paso

La jerarquía de operaciones se aplica siguiendo la ley MDAS que vimos en el apartado anterior.

Recuerda que primero realizamos las multiplicaciones y divisiones, y después pasamos a realizar las adiciones y sustracciones.

Además, comenzamos de izquierda a derecha.

En este apartado verás ejercicios resueltos de jerarquía de las operaciones básicas paso a paso.

Ejemplo 1:

65 + 7 – 40 + 3

• Veamos:

Ejemplo 2:

26 – 42 ÷ 6 + 3 x 5

En este caso sí tenemos multiplicaciones y divisiones. Entonces: ●     Vamos a resolver las multiplicaciones y las divisiones primero, siempre de izquierda a derecha. ●     Luego, vamos con las sumas y las restas, también de izquierda a derecha.

• Observa:

Ejemplo 3:

94 – 6 x 7 + 5 x 8 – 12 ÷ 4

• Aquí seguiremos con la regla MDAS, tal como lo hemos hecho en el ejemplo anterior.
• Vamos a resolverlo paso a paso:

Ejemplo 4:

36 + 2 – 5 x 7 + 6 ÷ 3 + 2

• Observa cómo lo resolvemos:

Ejemplo 5:

7 x 7 + 81 ÷ 3 – 54 ÷ 6 +25

Veamos este paso a paso:

Jerarquía de operaciones ejemplos

Recuerda que para resolver una operación combinada en la que no existen signos de agrupación, realizamos lo siguiente:

1. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones, si existen, de izquierda a derecha.
2. Resolvemos las adiciones y las sustracciones, si las hay, de izquierda a derecha.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1:

8 + 2 x 3 + 7 – 6 ÷ 2 =

Ejemplo 2:

56 + 9 x 8 – 6 x 5 + 9 : 3 – 32 : 8 =

Ejemplo 3:

2 + 19 + 23 x 12 – 14 : 2 x 3 – 5 x 12 + 8 + 9 x 6 =

Problemas resueltos de ley de jerarquía de operaciones

Las operaciones combinadas son muy útiles en la vida cotidiana, son muchos los problemas que puedes resolver aplicando la jerarquía de las operaciones.

Veamos algunos casos en los que podemos aplicar los principios que hemos estudiado hasta el momento.

Problema 1

• En un partido de baloncesto se han vendido un total de 1.200 entradas, de las cuales, 525 se han vendido a 32 euros cada una; 490 entradas a 28 euros cada una y el resto a 23 euros  cada una. ¿Cuál ha sido el total recaudado en dicho partido?
• Lo primero que haremos será traducir la información a dada a términos aritméticos.

• El total recaudado en el partido fue de 34.775 euros.

Problema 2

• Hoy Manuel compró 4 camisetas por 17 euros cada una, 3 pantalones por 23 euros cada una y 2 mochilas por 31 euros cada una. Al llegar a la caja la chica le informó que le harían un descuento de 12 euros. ¿Cuánto canceló Manuel luego de aplicado el descuento?

• Manuel canceló 187 euros en total.

Problema 3

• Juan tenía en su billetera 6 billetes de 50 euros y 4 billetes de 20 euros. El fin de semana decidió ir con este dinero al centro comercial y compró un balón de fútbol por 35 euros  y una cámara de audio y video por 250 euros.  ¿Con cuánto dinero se quedó Juan Pablo luego de cancelar el balón y la cámara?

• Juan después de pagar el balón y la cámara se quedó con 95 euros.

Ley de jerarquía de operaciones básicas con paréntesis

Las operaciones básicas con paréntesis son expresiones numéricas en las que se combinan varias operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones).

Para resolver las operaciones básicas con paréntesis hay que cumplir unos sencillos pasos:

1. Resolver primero las operaciones que estén dentro del paréntesis
2. Si aparecen varias operaciones seguidas, primero se hacen las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones.

Veamos algunos ejemplos de operaciones básicas con paréntesis:

Ejemplo 1:

(8 x 9) – (12 + 5 – 8) + 15 =

Ejemplo 2:  

5 x (9 x 12 – 18) – (15 : 3 – 1) =

Ejemplo 3:

2 x 3 + (81 : 9 – 5 + 3 x 2) – (6 x 3 – 24 : 2) + 1 =

Ley de jerarquía de operaciones básicas con paréntesis y corchetes.

Las operaciones básicas con paréntesis y corchetes combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

Para resolver las operaciones básicas con paréntesis y corchetes hay que cumplir unos pasos muy sencillos. :

1. Resolver primero las operaciones que estén dentro del paréntesis.
2. Luego se realizan las operaciones que están dentro del corchete.
3. Si aparecen varias operaciones seguidas, primero se hacen las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones.

Veamos algunos ejemplos de operaciones básicas con paréntesis y corchetes:

Ejemplo 1:

20 + [15 + (15 – 6) + 39]

Ejemplo 2:       

[ 13 + (68 -24)] – (95 – 48)] + [6 + 7 +(72 -12) -23]

Ejemplo 3:

3 x [ 9 – 5 + (3 x 5 – 6) – (2 + 15 : 3)] – [ (8 x 6 : 12) + (6 x 1)]

Ley de jerarquía de operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves

Las operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves incorporan tres signos de agrupación y combinan operaciones como la adición, sustracción, multiplicación y división.

Para realizar las operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves hay que considerar los siguientes pasos:

1. Resolver primero las operaciones que estén dentro del paréntesis.
2. Luego se realizan las operaciones que están dentro del corchete.
3. Seguidamente se resuelven las operaciones que se encuentran entre las llaves.
4. Si aparecen varias operaciones seguidas, primero se hacen las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones.

Veamos algunos ejemplos de operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves:

Ejemplo 1:

6 + {4 + 9 x [18 : 3 – 2 + 5 x (7 + 3 x 4)] + (4 x 2)} + (7 x 3)

Ejemplo 2

{ 5 + [ 9 : 3 + 6 x 5 + (23 – 8 : 2 + 5) + 7 x (5 + 6) – 1] + 6 x 10}

Ejemplo 3:

2 + 9 x {8 + 5 x [4 + 8 x 4 – 2 x (2 x 3) + 5] – 1} + 4 x [100 : 5 – 3 x (2 x 3)]

Ejercicios resueltos de ley de jerarquía con signos de agrupación

Recuerda que para resolver ejercicios de operaciones básicas en los que se encuentren signos de agrupación seguimos los siguientes pasos:

Empezamos resolviendo las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis. Después resolvemos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. Seguimos con las operaciones que están dentro de las llaves.

Recuerda que, al resolver las operaciones dentro de cada signo de agrupación, debes seguir la regla MDAS:

1. Empiezas de isquierda a derecha.
2. Primero las Multiplicaciones y Divisiones.
3. Después las Sumas y Restas.

Ejercicio 1

10 + { ( 2 × 5 ) + [ 8 + (7 – 2) ] }

Ejercicio 2

5 x 5 – {16 ÷ 2 – (3 – 1) – [15 – (2 x 5) ] + 16}

Ejercicio 3

17 + { (8 x 3 – 4 + 7) – [ 5 – (4 – 2) ] – 1 } + 2 x 5

Ley de jerarquía de operaciones con fracciones y potencias

En este apartado te explicaremos cuál es la jerarquía de las operaciones que debes seguir cuando tienes operaciones combinadas que implican potencias y fracciones.

Al igual que con los números naturales, las operaciones deben realizarse de izquierda a derecha. El orden es el siguiente:

1. Raíces y portencias (que pueden ser expresadas con un exponente).
2. Multiplicaciones y divisiones.
3. Sumas y restas.

Ejemplo 1:

$\frac{3}{4} + \frac{5}{3} \times \frac{2}{7}$

Ejemplo 2:

$\frac{6}{5}÷\frac{6}{7}–\frac{3}{4}\times \frac{4}{5}$

Ejemplo 3:

Antes de concluir, te dejamos unos cuantos recursos más para que practiques lo aprendido. 

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Definición de jerarquía de las operaciones

Relgas básicas de la jerarquía de las operaciones

Jerarquía con signos de agrupaciones

Aplicación de la jerarquía de operaciones

Operaciones combinadas en problemas